Desmontando la media móvil II. EMA y WMA

Para quienes ambicionan el poder, no existe una vía media entre la cumbre y el precipicio. Tácito

Intermedio

WMA
Ya vimos que el problema que surgía cuando utilizábamos la media móvil simple, SMA. Para ganar claridad en la curva del indicador y suavizarla, perdíamos la capacidad de respuesta a cambios de tendencia en el precio y se volvía inservible en mercados en rango.
Un intento de corregirlo ha sido modificar la media móvil, en lugar de ser una media aritmética de n valores,  los ponderábamos, de forma que damos más peso a los últimos precios.
La media móvil ponderada (WMA, Weighted Moving Average) otorga más valor al precio más reciente, y de forma lineal va perdiendo peso a medida que nos alejamos del primero. De esta forma conseguimos más sensibilidad a los últimos cambios del mercado.
Si tenemos 9 precios por ejemplo, otorgamos un factor de peso 9 al dato más reciente, 8 al penúltimo, 7 al siguiente, hasta llegar a cero y se divide por la suma del 9 al 1.
La fórmula WMA será:

En el ejemplo anterior, si tenemos 9 precios, con el 1 el más reciente:

1	2	3	4	5	6	7	8	9
1.3551	1.3555	1.3554	1.3560	1.3562	1.3570	1.3565	1.3571	1.3575

La WMA se calcula:

dando un valor de 1,3559.
Los pesos otorgados a los precios, como hemos dicho, van perdiendo importancia de forma lineal:

Influencia de los precios sobre la media ponderada decaen de forma lineal

En el ejemplo anterior de los 9 precios, el precio actual tiene un peso de 9/50, el siguiente de 8/50 hasta llegar a 1/50.

EMA
Otro método de crear una media móvil en el que se intenta mejorar la capacidad de respuesta sin perder suavidad de la curva, es ponderar los valores, pero no de forma lineal como hace la WMA sino de forma exponencial, como lo hace la media móvil exponencial (EMA, Exponential Moving Average).
Para su cálculo primero se define el factor alfa como un número inferior a 1 y dependiente del periodo de la media móvil. Este número es el factor de suavizado y es el único sitio donde interviene el periodo de la media.
Luego se calcula según esta fórmula:

Así si tenemos un periodo de N=20, alfa es igual a 2/21. Éste es nuestro smoothing factor. Y se calcula la suma. Se puede demostrar que la fórmula anterior es equivalente a:

EMA₀ = EMA₁ + α(precio - EMA₁)

Como se ve, el sumatorio es infinito, independientemente del periodo, aunque al aumentar el índice del exponente el factor se vuelve despreciable. El valor de los factores decrece de forma exponencial.

Pesos exponenciales para un periodo N=10

En el gráfico anterior, a pesar de que el periodo es sólo 10, se siguen calculando factores con precios anteriores aunque se trunca el sumatorio en un determinado momento ya que los factores convergen a cero.

Comparativa de medias

Si queremos comparar la eficacia para seguir la tendencia podemos seguir varios métodos. Por ejemplo podemos comparar la influencia de los últimos precios sobre el total de la media móvil. Esto nos da una idea de su capacidad para seguir los últimos cambios.
Para una media simple, se hace obvio que la mitad inicial de los precios en un periodo N acumulan sólo el 50 % de la influencia en la media.
Para una WMA, el cálculo es cuestión de trigonometría al tender los pesos a la forma de un triangulo, pero no es difícil llegar a la conclusión de que el 50% de la influencia de la media se obtiene de (1-1/raiz(2))N, es decir. El 50% de la información de la media es obtenida del 29,3% primeros precios.
Para una EMA, el cálculo se realiza mediante una integral de área y resulta que el 50% de la información de la media se obtiene de N*Ln(2)/2, o del 34,7% primeros precios.
Por tanto WMA se concluye tiene mayor capacidad para seguir el precio cuando se produce un cambio de tendencia. Veámoslo gráficamente

Comparativa de SMA, EMA y WMA

Como se puede ver, las tres medias del mismo periodo no tienen la misma respuesta. La WMA (linea verde) sigue al precio aún cuando éste cambia de tendencia. La EMA (linea roja) lo hace también pero con algún retraso. Por último la SMA, (linea azul) es la que tiene mayor lagging, como era de esperar.

Aunque la EMA y WMA suponen un avance respecto la SMA, las estrategias basadas exclusivamente en el cruce de esas medias tampoco son ganadoras, al dar todavía demasiadas falsas señales de entrada cuando el mercado está en rango.
Aumentar o disminuir el periodo de la media tampoco soluciona el problema, ya que un periodo corto para estar pronto en un cambio de tendencia y seguir el precio hace que en un mercado en rango dé señales falsas, y un periodo largo hace que el retraso en la respuesta nos haga entrar demasiado tarde.
En el siguiente post hablaré de otra vuelta de tuerca de las medias móviles, las medias adaptativas. Un intento de hacer que un media móvil tenga un periodo variable en función de cómo esté el mercado.