Gestión del riesgo y del capital III. Criterio de Kelly y F óptima

Con números se puede demostrar cualquier cosa. Thomas Carlyle

Avanzado

Hasta ahora hemos visto la descripción de un sistema de gestión simple pero efectivo, basado en modificar el tamaño del lote en función del importe arriesgado. También hemos visto otros sistemas, más arriesgados y menos recomendables como el de la martingala y derivados de este sistema.
Volviendo al tema de los lotes variables, otra ventaja a su favor es que nos permite, a medida que acumulamos ganancias, con el mismo porcentaje, arriesgar una mayor cantidad.
Pero si queremos comprobar una estrategia de trading, es preferible actuar con lotes fijos, es decir, determinar desde el principio una cantidad y no modificarla durante el backtesting. Esto le permitirá evaluar mejor ese sistema y comparar sus diferentes variables de optimización. Una vez optimizado, ya podrá usar lotes variables.
Aquí tiene un excel en que le permitirá comprobar cómo suele ser una estrategia basada en lotes variables y otra de lotes fijos con las mismas transacciones exitosas y fracasadas

Balance típicos de una estrategia de lotes fijos frente una de lotes variables

Una buena estrategia de trading debería tener una curva suave de crecimiento, con pocos altibajos.
Aquí debe introducirse el término drawdown, como la diferencia entre un pico en el balance y el siguiente valle. Muchos sistemas de backtesting miden el drawdown máximo de un sistema como una variable a optimizar ya que es una medida de las máximas pérdidas que podemos encontrar en una mala racha. En un backtesting de lotes fijos, el máximo drawdown no puede superar nunca el depósito inicial.

Criterio de Kelly
El físico J. L. Kelly trabajaba para los laboratorios Bell en proyectos tan interesantes como la síntesis del habla humana mediante computadoras, una de sus demostraciones impresionó tanto Arthut C. Clarke que la introdujo en lo que después se convertiría en uno de los momentos más recordados de 2001: Una odisea en el Espacio, a través del ordenador HAL 9000.
Personaje singular, desarrolló un sistema de inversión basado en los principios de la teoría de la información y la teoría de juegos, por lo que trataba de maximizar los resultados a largo plazo de una inversión.
Hoy en día diferentes formas de lo que ahora se llama el Criterio de Kelly es utilizada por grandes inversores, además de jugadores profesionales para saber qué porcentaje de su capital deben invertir/apostar. Veámosla:

Para una apuesta en el que sólo hay dos resultados, uno en el que se pierde todo lo apostado y otro en el que se gana lo invertido multiplicado por la probabilidad de ganar, la cantidad a invertir es:

 

donde: 

• f: porcentaje del capital disponible
• b: es la ganancia neta en caso de ganar.
• p: probabilidad de ganar
• q. probabilidad de perder = 1-q

Por ejemplo en una apuesta de 60% de ganar (p = 0.6 y q = 0.4), si al apostar10 €  puede ganar 10 € (b = 1), la fórmula nos indica apostar el 20% de nuestro capital para maximizar el crecimiento a largo plazo de nuestro capital.

Si a la anterior fórmula la igualamos a cero, nos da que si p es menor que 1/(b+1), no debemos apostar nada y tomar la posición contraria. Por ejemplo, en una apuesta en el que b = 2 (cuando cada vez que apostamos 10€ podemos ganar 20€), sólo debemos entrar si la probabilidad de ganar es mayor de 1/3, y si es posible entrar en el lado contrario de la apuesta.

Por ejemplo, en una ruleta queremos apostar al rojo, la probabilidad de ganar es 18/38 (18 rojos frente todas las demás casillas). Si ganamos recibimos lo que apostamos (1€ por cada euro, así que b = 1). La fórmula de Kelly nos da invertir -2/38, así que no podemos apostar nada. Tampoco podemos apostar al "no rojo", ésa es la apuesta de la banca, por lo que siempre gana.

Una forma sencilla de demostrar el caso en el que b = 1 (cuando ganas lo mismo que apuestas):

El jugador apuesta 2p-1 (se supone que la probabilidad de ganar es mayor de 0,5 si no, no tendría sentido apostar) veces su capital inicial W.

Si gana tendrá W+(2p-1)W = 2pW.

Si pierde tendrá W-(2p-1)W = 2(1-p)W

Cuando ha hecho N apuestas y ha ganado K veces tendrá por tanto: 2^Np^K(1-p)^N-KW

Si en lugar de apostar 2p-1, hubiera apostado otra cantidad diferente a una distancia d (sea negativa o positiva), es decir (2p-1+d)W el jugador tendría una cantidad (2p+d)^K[2(1-p)-d)^N-KW

Si hacemos la derivada respecto a d y la igualamos a cero para conocer el máximo, resulta que

d = 2(K/N-p) pero como a largo plazo, K/N es igual a la probabilidad de ganar, p, d tiende a cero.

Esto demostraría que siempre, la mejor inversión sería la planteada por Kelly, pero sólo a largo plazo, cuando K = pN, el número de veces ganadoras iguala a la probabilidad de ganar por el total de apuestas.

En el trading NO se usa el resultado de Kelly, sino una fracción, un 10% por ejemplo. Ningún inversor se jugaría el 20% en una sola inversión por mucho que a la larga sea lo mejor. Su uso provoca enormes drawdown y además los valores de p y b en el comercio de divisas o acciones son estimaciones basadas en valores pasados (mediante baktesting) que no garantizan su validez futura. A su favor está en que estima que los resultados obtenidos son independientes entre sí y no caen en la falacia del jugador como las martingalas.

Una forma de uso del criterio de Kelly es usar el valor resultante como el valor a invertir en una cartera diversificada, por ejemplo, si sale un 20% del balance, invertir ese valor en una serie de pares de divisas poco correlacionadas, siempre si nuestra estrategia pide entrar.

Otra forma del criterio, es calcular el apalancamiento adecuado en una inversión. Se puede demostrar que el apalancamiento adecuado en una inversión según el criterio de Kelly es igual al ratio de Sharpe dividido entre la desviación estándar de las ganancias obtenidas.

F óptima
Con el objetivo de corregir los defectos del criterio de Kelly, Ralph Vince propuso otra solución para maximizar los beneficios en función de los valores pasados obtenidos. Su fórmula es:

B = (1 + f * r1 / PM) * (1 + f * r2 / PM) * ..., donde:

• B: Beneficio, valor a maximizar
• f: fracción óptima, valor a optimizar
• r1: resultado de la transacción 1
• r2: resultado de la transacción 2
• PM: pérdida máxima hasta el momento

Aunque resuelve algunos problemas de Kelly, a veces tampoco da unos resultados demasiado recomendables, y en lugar de querer maximizar los beneficios, es preferible maximizar el ratio de Sharpe o el drawdown, si preferimos pocos vaivenes en nuestro balance.

Gestión del riesgo y del capital II. Sistemas Martingala y derivados

Nunca hagas apuestas. Si sabes que has de ganar, eres un pícaro, y si no lo sabes, eres un tonto. Confucio

Intermedio

El origen del término martingala está discutido pero la más aceptada es que proviene del nombre del poblado Martingue, en la Provenza francesa, por las costumbres extravagantes de sus habitantes. Hoy en día se le define, según el DRAE, como:  Artificio o astucia para engañar a alguien, o para otro fin.
En el trading y otros tipos de inversión y apuestas, muchos no están preparados para asumir pérdidas e idean sistemas para evitarlas, el más común es el de la martingala, y consiste en duplicar la inversión/apuesta cada vez que se pierde.
Pondré el caso más sencillo, el de lanzamiento de una moneda. Apostamos 1€ a que sale cara. Si sale cruz, volvemos a apostar pero 2€. Si sale cara tendremos -1+2=1€ de beneficio, pero si sale cruz, apostamos de nuevo pero 4€. Si sale cara tendremos -1-2+4=1€ de beneficio, pero si sale cruz apostamos 8 €. Si sale cara tendremos -1-2-4+8=1€ de beneficios y así continuamente.

Sistema martingala por el cual jamás perderemos

Se crea así un círculo virtuoso de ganancias. Sólo existe un problema: partimos de un capital finito por lo que nuestra capacidad para doblar la apuesta tiene un límite. Siempre ganamos excepto cuando no podemos, tras una racha de pérdidas, doblar la apuesta.
En el ejemplo anterior, vimos que debemos doblar la apuesta para recuperar lo perdido. Este es el caso de un juego equilibrado (al 50% de probabilidad para cada opción). Así en una serie 2, 4, 8, 16, ...2^n, donde n es el número de pérdidas consecutivas, en el momento que supere nuestro capital, C, ya lo perdemos todo.
Por ejemplo si C = 10000€, cuando tengamos una racha de 13 pérdidas consecutivas ya no nos será posible doblar. La probabilidad de que esto ocurra es una entre 2^13 (trece cruces consecutivas) o una entre 8192. Parece poco probable pero por la ley de los grandes números, tarde o temprano ese evento improbable aparecerá y lo perderemos todo.
No sólo eso, sino que además invertir en Forex o cualquier otra inversión, al igual que todo tipo de apuestas, no son juegos equilibrados. En Forex, acciones, etc. existen las comisiones y el spread; en la ruleta si apuestas rojo o negro, hay dos números sin color 0 y 00, que aseguren el beneficio de la banca, por lo que perderemos aún más rápidamente.

Balance típico de un sistema de gestión martingala

Aquí tiene un excel en el que se genera un juego de lanzamiento de moneda en el que podemos sesgar los resultados para que no sea equilibrado. Como se ve, es posible hacer ganancias constantes hasta que llega una racha de ceros (cruces) en el que no nos será posible doblar la apuesta, a pesar de, como en el gráfico anterior, habíamos multiplicado por cinco nuestro capital inicial.
En cualquier sistema de martingala, en juegos de suma cero, gana siempre aquel que tiene más capital. Y el nuestro no es el caso, ¿verdad?
Existen multitud de estrategias basados en martingalas por internet. A la larga son todos perdedores. Ese momento llega siempre y depende básicamente del capital inicial y de su capacidad para evitar rachas consecutivas de pérdidas.
Muchos asesores expertos que prometen ganancias aseguradas al 100% suelen presentar gráficos como en el anterior, con sólo una diferencia, borran la línea vertical final. Evítelos a toda costa.

Otros sistemas ingeniosos basados en martingala son:

• Antimartingala o sistema Paroli. En el ejemplo del lanzamiento del dado, se trata de aumentar la apuesta cada vez que ganamos, y si perdemos, la disminuimos. Justo lo contrario que la martingala, se basa en que si estamos en rachas ganadoras, las aprovechamos y si estamos en rachas perdedoras vamos saliendo del mercado. El problema estriba en el concepto de rachas. Uno puede asumir que puede tener ganancias consecutivas, porque estadísticamente deben ocurrir todas las posibilidades, pero el resultado de una apuesta es independiente del resultado anterior, lo contrario sería entrar en la falacia del jugador y este sistema también estaría abocado al fracaso. En el trading es posible que este sistema tenga una utilidad limitada si, y sólo si, se demuestra que el resultado de una inversión no ha sido independiente del resultado anterior. Esto puede ocurrir en sistemas de tendencia durante tendencias largas.
• Sistema d'Alembert o de pirámide. En el que se añade una cantidad determinada  a la apuesta cuando se pierde y se resta esa cantidad cuando se gana
• Sistema Labouchere. Es una variante de la martingala que intenta no perder tan rápidamente, doblando cada vez la apuesta. Veamos, se decide primero cuánto dinero se desea ganar antes de jugar, y anota una lista de números positivos que suman la cantidad predeterminada. En cada apuesta, el jugador se juega una cantidad igual a la suma del primer y el último número de la lista. Si queda sólo un número, ése es la cantidad de la apuesta. Si la apuesta sale bien, las dos cantidades se borran de la lista; si no, la cantidad se apunta al final de la lista. A medida que ganamos, se borran números de la lista y a medida que perdemos, se añade esa cantidad. Se supone que como borramos dos números cada vez que ganamos y añadimos sólo uno cada vez que perdemos, con sólo tener un 1/3 de probabilidad de ganar, al final los borramos todos, por lo que ya hemos conseguido el objetivo inicial. Como siempre en todas las martingalas, el fallo estriba en suponer que siempre podremos cubrir las apuestas, por lo que el dinero inicial debería ser infinito
• Sistema Labouchere inverso. A semejanza del anterior, pero al revés, anotamos una lista de números que sumen todos la cantidad máxima que nos permitiremos perder. A su vez, añadimos el número que apostamos cuando ganamos y borramos dos cuando perdemos. Cuando llegamos a la apuesta máxima permitida, detenemos la lista y empezamos otra.

¿Apuestas o inviertes?

Y más sistemas que existen. La mayoría caen en diversos errores conceptuales, como la falacia del jugador, en la creencia de rachas de suerte, tampoco tienen en cuenta el apalancamiento asimétrico y asumen que el dinero disponible es ilimitado.

En el próximo post haré una descripción de sistemas de gestión más avanzados como el criterio de Kelly o la f óptima de Ralph Vince.

Gestión del riesgo y del capital I. Apalancamiento asimétrico y calculadora de lotes

Los grandes sucesos dependen de incidentes pequeños. Demóstenes

Intermedio

Un error muy común entre principiantes en el trading es ignorar cualquier noción de gestión del dinero, el llamado en inglés, money management. Y es una buena explicación de por qué pierden todo su capital.
Un trader suele incorporar rápidamente ideas acerca de cómo invertir, estrategias, indicadores, etc. que le indican cuando entrar y cuando salir del mercado, pero suele dejar de lado cuánto invertir ahora y en la siguiente inversión. Ésta es la misión de la gestión del dinero.

Debemos recordar una serie de conceptos para el correcto conocimiento de aquello que llamamos gestión del riesgo y del capital.
Lo primero es diferenciar entre la gestión del riesgo y la gestión del capital. En la gestión del riesgo, mediante un estudio previo de nuestra estrategia con datos pasados, debemos calcular basándonos en un determinado ratio riesgo:beneficio cual será  nuestra expectativa o probabilidad de ganancias.
En una gestión del capital, debemos calcular cuánto dinero estamos exponiendo en cada inversión. A menudo este cálculo se hace incorrectamente porque no se tiene el concepto bien entendido. Un inversor principiante, con la creencia de que va a perder poco, invierte un pequeño lote y no usar stoploss. Así lo perderá todo.
El método correcto es fijar primero el stoploss basándonos en nuestra estrategia, fijar la cantidad que exponemos y con los pips de distancia al SL calculamos los lotes que invertimos. Éstos serán siempre los pasos a seguir, por ejemplo.

Ejemplo de cálculo de lotes

Nuestra estrategia de compra nos indica poner un stoploss, debajo de un soporte, a 1.3550 para el par EURUSD.
El precio BID (precio de compra) está a 1.3580.
Tenemos entonces una distancia de 30 pips.
Tenemos un capital de 5000€. Y no queremos perder más de un 2% (recomendado, como veremos más adelante), esto es: 100€
La cuenta es estándar 100:1 de apalancamiento por lo que cada pip vale 10$ (0.0001*100000 en divisa cotizada) en cada lote.
El ratio riesgo beneficio de nuestra estrategia es 2:1, por lo que la toma de beneficios estará en 1.3580+30*2+spread.
¿cuántos son los lotes que debemos invertir? 30 pips en un lote son 300$, si sólo queremos que sean 100€ ( 135.8 dólares) debemos invertir 135.8/300=0,45 lotes.
El apalancamiento expresado como la relación entre el crédito demandado y capital sería: 0,45*100000/5000=9. No recomiendo apalancarse más de un 10:1.
Aquí puede descargar una hoja excel para sus propios cálculos.

Apalancamiento asimétrico

Hay un concepto que todo trader tarde o temprano llega a descubrir sin que por ello conozca sus fundamentos. Es el apalancamiento asimétrico.
Cuando uno empieza a invertir pronto se da cuenta que el esfuerzo para recuperar un pérdida es mayor que obtener esa ganancia. És lógico cuando uno se da cuenta que la cantidad máxima para perder es limitada (su capital) pero la cantidad a ganar no lo es.
Por ejemplo, si tenemos 1000€ y perdemos 200€, tenemos una pérdida del 20%, pero para recuperar esos 200€ partiendo de los 800€ que nos quedan, tenemos que tener unas ganancias del 25%.
Éste es el apalancamiento asimétrico y lo podemos definir como la reducción de la capacidad progresiva para recuperar las pérdidas.

La dificultad para poder recuperarse crece exponencialmente a medida que vamos perdiendo

Como vemos a medida que perdemos más difícil es recuperarse, y afecta principalmente a cuentas pequeñas.

Cuánto invertir

Anteriormente he indicado un método para el cálculo de lotes, basándonos en el capital que invertimos. Éste es un sistema simple pero correcto para invertir. Hay más que en otro post explicaré.
En nuestro sistema simple de gestión del dinero he indicado no invertir más allá de un 2% del capital disponible.
Éste método es una protección que tenemos ante las rachas negativas. No existen las estrategias perfectas, por lo que podemos sufrir pérdidas consecutivas. ¿cuántas pérdidas seguidas podemos resistir? Con este excel podemos hacer una comprobación: partiendo del dinero disponible y arriesgando un determinado porcentaje del capital cada vez, podemos ver hasta 10 pérdidas consecutivas qué dinero nos quedaría

A medida que arriesgamos más porcentaje de nuestro capital más nos exponemos ante posibles rachas negativas

Así en una racha de 7 pérdidas seguidas invirtiendo cada vez sólo un 2%, nos quedaría 4340 € y aún tendríamos capacidad para recuperarnos. Si hubiésemos invertido un 10 %, sólo nos quedaría 2392 €, menos de la mitad. Si le añadimos la dificultad añadida del apalancamiento asimétrico, significa que para recuperarnos debemos ser capaces de con 2392, generar un 109% de capital.
Evidentemente a menos lotes invertimos, menos capacidad de ganar tenemos, por lo que necesitamos una estrategia con un ratio riesgo/beneficio de al menos 1:2