Gestión del riesgo y del capital III. Criterio de Kelly y F óptima

Con números se puede demostrar cualquier cosa. Thomas Carlyle

Avanzado

Hasta ahora hemos visto la descripción de un sistema de gestión simple pero efectivo, basado en modificar el tamaño del lote en función del importe arriesgado. También hemos visto otros sistemas, más arriesgados y menos recomendables como el de la martingala y derivados de este sistema.
Volviendo al tema de los lotes variables, otra ventaja a su favor es que nos permite, a medida que acumulamos ganancias, con el mismo porcentaje, arriesgar una mayor cantidad.
Pero si queremos comprobar una estrategia de trading, es preferible actuar con lotes fijos, es decir, determinar desde el principio una cantidad y no modificarla durante el backtesting. Esto le permitirá evaluar mejor ese sistema y comparar sus diferentes variables de optimización. Una vez optimizado, ya podrá usar lotes variables.
Aquí tiene un excel en que le permitirá comprobar cómo suele ser una estrategia basada en lotes variables y otra de lotes fijos con las mismas transacciones exitosas y fracasadas

Balance típicos de una estrategia de lotes fijos frente una de lotes variables

Una buena estrategia de trading debería tener una curva suave de crecimiento, con pocos altibajos.
Aquí debe introducirse el término drawdown, como la diferencia entre un pico en el balance y el siguiente valle. Muchos sistemas de backtesting miden el drawdown máximo de un sistema como una variable a optimizar ya que es una medida de las máximas pérdidas que podemos encontrar en una mala racha. En un backtesting de lotes fijos, el máximo drawdown no puede superar nunca el depósito inicial.

Criterio de Kelly
El físico J. L. Kelly trabajaba para los laboratorios Bell en proyectos tan interesantes como la síntesis del habla humana mediante computadoras, una de sus demostraciones impresionó tanto Arthut C. Clarke que la introdujo en lo que después se convertiría en uno de los momentos más recordados de 2001: Una odisea en el Espacio, a través del ordenador HAL 9000.
Personaje singular, desarrolló un sistema de inversión basado en los principios de la teoría de la información y la teoría de juegos, por lo que trataba de maximizar los resultados a largo plazo de una inversión.
Hoy en día diferentes formas de lo que ahora se llama el Criterio de Kelly es utilizada por grandes inversores, además de jugadores profesionales para saber qué porcentaje de su capital deben invertir/apostar. Veámosla:

Para una apuesta en el que sólo hay dos resultados, uno en el que se pierde todo lo apostado y otro en el que se gana lo invertido multiplicado por la probabilidad de ganar, la cantidad a invertir es:

 

donde: 

• f: porcentaje del capital disponible
• b: es la ganancia neta en caso de ganar.
• p: probabilidad de ganar
• q. probabilidad de perder = 1-q

Por ejemplo en una apuesta de 60% de ganar (p = 0.6 y q = 0.4), si al apostar10 €  puede ganar 10 € (b = 1), la fórmula nos indica apostar el 20% de nuestro capital para maximizar el crecimiento a largo plazo de nuestro capital.

Si a la anterior fórmula la igualamos a cero, nos da que si p es menor que 1/(b+1), no debemos apostar nada y tomar la posición contraria. Por ejemplo, en una apuesta en el que b = 2 (cuando cada vez que apostamos 10€ podemos ganar 20€), sólo debemos entrar si la probabilidad de ganar es mayor de 1/3, y si es posible entrar en el lado contrario de la apuesta.

Por ejemplo, en una ruleta queremos apostar al rojo, la probabilidad de ganar es 18/38 (18 rojos frente todas las demás casillas). Si ganamos recibimos lo que apostamos (1€ por cada euro, así que b = 1). La fórmula de Kelly nos da invertir -2/38, así que no podemos apostar nada. Tampoco podemos apostar al "no rojo", ésa es la apuesta de la banca, por lo que siempre gana.

Una forma sencilla de demostrar el caso en el que b = 1 (cuando ganas lo mismo que apuestas):

El jugador apuesta 2p-1 (se supone que la probabilidad de ganar es mayor de 0,5 si no, no tendría sentido apostar) veces su capital inicial W.

Si gana tendrá W+(2p-1)W = 2pW.

Si pierde tendrá W-(2p-1)W = 2(1-p)W

Cuando ha hecho N apuestas y ha ganado K veces tendrá por tanto: 2^Np^K(1-p)^N-KW

Si en lugar de apostar 2p-1, hubiera apostado otra cantidad diferente a una distancia d (sea negativa o positiva), es decir (2p-1+d)W el jugador tendría una cantidad (2p+d)^K[2(1-p)-d)^N-KW

Si hacemos la derivada respecto a d y la igualamos a cero para conocer el máximo, resulta que

d = 2(K/N-p) pero como a largo plazo, K/N es igual a la probabilidad de ganar, p, d tiende a cero.

Esto demostraría que siempre, la mejor inversión sería la planteada por Kelly, pero sólo a largo plazo, cuando K = pN, el número de veces ganadoras iguala a la probabilidad de ganar por el total de apuestas.

En el trading NO se usa el resultado de Kelly, sino una fracción, un 10% por ejemplo. Ningún inversor se jugaría el 20% en una sola inversión por mucho que a la larga sea lo mejor. Su uso provoca enormes drawdown y además los valores de p y b en el comercio de divisas o acciones son estimaciones basadas en valores pasados (mediante baktesting) que no garantizan su validez futura. A su favor está en que estima que los resultados obtenidos son independientes entre sí y no caen en la falacia del jugador como las martingalas.

Una forma de uso del criterio de Kelly es usar el valor resultante como el valor a invertir en una cartera diversificada, por ejemplo, si sale un 20% del balance, invertir ese valor en una serie de pares de divisas poco correlacionadas, siempre si nuestra estrategia pide entrar.

Otra forma del criterio, es calcular el apalancamiento adecuado en una inversión. Se puede demostrar que el apalancamiento adecuado en una inversión según el criterio de Kelly es igual al ratio de Sharpe dividido entre la desviación estándar de las ganancias obtenidas.

F óptima
Con el objetivo de corregir los defectos del criterio de Kelly, Ralph Vince propuso otra solución para maximizar los beneficios en función de los valores pasados obtenidos. Su fórmula es:

B = (1 + f * r1 / PM) * (1 + f * r2 / PM) * ..., donde:

• B: Beneficio, valor a maximizar
• f: fracción óptima, valor a optimizar
• r1: resultado de la transacción 1
• r2: resultado de la transacción 2
• PM: pérdida máxima hasta el momento

Aunque resuelve algunos problemas de Kelly, a veces tampoco da unos resultados demasiado recomendables, y en lugar de querer maximizar los beneficios, es preferible maximizar el ratio de Sharpe o el drawdown, si preferimos pocos vaivenes en nuestro balance.